Özdeşlikler ve Çarpanlara Ayırma

ÖZDEŞLİKLER VE ÇARPANLARA AYIRMA

Tanım : Sabit olmayan, birden fazla polinom un çarpımı biçimin  de yazılamayan polinomlara  indirgenemeyen polinomlar denir.                        Baş katsayısı bir olan indirgenemeyen polinomlar  Asal polinomlar  denir.

*  P(x) = x² + 4 ,  Q(x) = 3x² + 1,  R(x) = 2x – 3 ,  T(x) = - x + 7

      Polinomları indirgenemeyen polinomlar dır.

      P(x) = x² + 4  baş katsayısı 1 olduğundan  asal polinom dur.

Tanım : İçindeki değişkenlerin alabileceği her değer için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.

 *  a) x³ (x² – 2x) = x⁵ – 2x⁴      b) a² (x + y)² = a² x² + a² y²   özdeşlik

     c) a² (x +y)² = a² x² + a² y²     özdeşlik değildir.

ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER

I)    Tam Kare Özdeşliği:             a)     İki Terim Toplamının Karesi :  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2             b)       İki Terim farkının Karesi       :   (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 İki terim toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin  karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi alınır.            c)       Üç Terim Toplamının Karesi:   (a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc)    şeklindedir.

 

II)    İki Terim Toplamı veya Farkının Küpü :        a)       İki Terim Toplamının Küpü :  (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3  b)    İki Terim Farkının Küpü      :  (a – b)3 = a3  – 3a2b + 3ab2 – b3 Birinci terimin küpü;() birincinin karesi ile ikincinin çarpımının 3 katı, (+) birinci ile ikincinin karesinin çarpımının 3 katı,() ikincinin  küpü biçimindedir. Bu açılımlara Binom  Açılımıda denir  Not:. Paskal Üçgeni kullanılarak  4.,5.,6.,...Dereceden iki terimli  lerin özdeşliklerini de yazabiliriz.

III)   İki Kare Farkı Özdeşliği:      (a + b) (a – b) = a2 – b2   İki terim toplamı ile farkının çarpımı; birincinin karesi ile ikincinin karesinin farkına eşittir

IV)    xn + yn  veya xn - yn  biçimindeki polinomların Özdeşliği :    i)   İki küp Toplam veya Farkı :   a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)                                                         a3 –  b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)   ii)                                        a4 + b4 = (a + b) (a3 – a2b + ab2 – b3)                                              a4 –  b4 = (a2 + b2) (a + b) (a – b)  iii)                           a5 + b5  = (a + b) (a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4)                                  a5 – b5  = (a – b) (a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4)   iv)               a6 + b6  = (a + b) (a5 – a4b + a3 b2 – a2b3 + ab4 – b5)                      a6 –  b6  = (a – b) (a2 + ab + b2) (a+ b) (a2 + ab + b2)    v)     a7 + b7  = (a + b) (a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 + b6)            a7 –  b7  = (a – b) (a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6)

 

Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz        1)           x2 + y2  = (x + y)2 – 2xy        2)           x2 + y2  = (x – y)2 + 2xy  3)        (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy  4)        (x + y)2 = (x – y)2 + 4xy  5)        x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy (x – y)  6)        x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy (x + y)   7)        x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2 (xy + xz + yz)

 

   1)  İki sayının toplamı 17, kareleri toplamı 145 ise; bu sayıların çarpımı kaçtır?                                                                   

        x² + y²  = (x + y)² – 2xy       2ab = 289 – 145

              145 =  (17)² – 2ab          2ab = 144        ab = 72     C= 72

  2)   a – b = 6            (a + b)² = (a – b)² + 4ab       (a + b)² = 44

        a . b = 2                          = ( 6 )²  + 4.2             (a + b) =  

        a + b = ?                         =  36 + 8                                =

  3)   a – 2b = 3  ise;  a² + 4b² = ?    a² + 4b² = (a – 2b)² +2. a2b

        a . b = 2                                                 = ( 3 )² + 2. 2 .2  = 17

  4)   a + b = 12  ise;  a . b = ?    (a + b)² = (a – b)² + 4ab    4 ab = 108

        a – b = 6                               ( 12 )² = ( 6 )²  + 4ab           ab = 27

  5)    ise;     x² + y²  = (x – y)² + 2xy

              20

  6)  ise;               

                            Ç = {- 4 , 4}

   7)   m + n =8                        x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy(x + y) 

         m . n = 1                         m³ + n³ = (m + n)³ – 3mn (m + n)

m³ + n³ = ?                                  = ( 8 )³ – 3 . 1 . 8 = 488      

      a³ – b³ = 50                    x³ – y³ = (x – y)³ + 3xy(x – y)

         a – b = 2 ise;                   a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)

         a . b = ?                          50 = 8 + 6ab  6ab = 42ab = 7

 9)     ise;       x³ – y³ = (x – y)³ + 3xy(x – y)                                                    

      = ( 3 )³ + 3.1.( 3 ) = 36

  10)    ise;     x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy(x + y) 

        198

  11)  a + b + c = ?               a² + b² + c² = (a + b + c) – 2(ab + aç + bc)

       ab + ac + bc = 12                          = ( 7 )² – 2 ( 12 )

       a² + b² + c² = ?                              = 49 – 24 = 25

 12)   ise;          

                        

        = 15

 13)      ise;                       C = 120

 14)      ise;                       C = 63

 15)    ise;                   C = 154

 16)    ise;                     C = 75

 17)     ise;                          C = 999

ÇARPANLARA AYIRMA KURALLARI

1)       Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ayırma :    Her terimde ortak olarak bulunan çarpan, parantez dışına alınır.   Her terimin ortak çarpana bölümü parantez içine yazılır

     1)  Aşağıdaki ifadeleri Çarpanlarına ayırınız.

     a)  3a + 3b = 3(a + b)             b)  5m – 10mn = 5m (1 – 2)

     c)  12x + 9y =3(4x + 3y)       d)  3a²b – 2ab² = ab (3a – 2b)

     e)  3ax + 3ay – 3az                 f)  (a – b) x + 3 (a – b)

     g)  (m – n) – (a + b)(m – n)    h)   – a – b – x² (a + b)

     ı)   x²(p – 3) + ma² (3 – p)      i)   1 – 2x + m (2x – 1)

2)       Gruplandırma Yaparak Çarpanlara Ayırma :   Bütün terimlerde ortak çarpan yoksa, terimler ikişer, ikişer, üçer,   üçer guruplandırılır. Gruplar ayrı, ayrı  ortak çarpanlarına ayrılır.

2)  a)  mx + ny + my + nx           b)  xy – xb – yb + b²

     c)  x⁴ – 4 + 2x³ – 2x                d)  2x² –3x – 6xy + 9y

     e)  x³ – x + 1 – x²                    f)   x⁴ – x + x³ – 1

    g)  ab(c² – d²) – cd (a² – b²)     h)  ac² + 3c – bc – 2ac – 6 + 2b

    ı)  mn(zⁱ + y²) + zy (m² + n²)  i)  a²b² + 1 – (a² + b²)

3)       Tam Kare şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :   Polinom üç terimli ise, ilk ve son terimin kare köklerinin çarpımı  nın iki katı ortadaki terimi  veriyorsa, bu tam kare şeklinde ifadedir    a2 + 2ab + b2 = (a + b)2,         a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

3)  a)  x² + 4xb + 4b²    b)  4a² + 12ab + 9b²    c) 4a²b² – 4abc + c²

4)  a) a²b + 8ab +16b³  b) 2m³ – 28m² +98m   c) 4x³y – 12x²y² + 9xy³

4)       İki Kare Farkı Şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :  Polinom iki terimli , işaretleri farklı, kare kökleri alınıyorsa; Bu  Polinom iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır.       a2 – b2 = (a + b) (a – b)

5)  a) 25 – 9a²b²           b) x⁴ – 1                        c) (m – n)² – (m + n)²

6)  a) 18x² – 2y²           b) 2a²b³ – 32b              c) 12x³y – 75xy⁵

7)  a) 9a² – 6a +1 – b²  b) x² – 12x + 36 – 4y²  c)16m² – n² – 6n – 9

     d)1 – x² – 2xy – y²  e) m² – n² – 3m + 3n    f) a² – 25b² – a + 5b

    g) a² – 4m² – 12mn – 9n²               h)  9a² –16m⁴ – 12axy + 4x²y²

5)       İki Küp Toplamı - Farkı İfadeleri  Çarpanlara Ayırma:  a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) ,  a3 –  b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

8)   a) a³ + 8        b) 8 – m³     c) x³ + 1     d) 27a³ – 64   e) x³a³ + b³

9)   a) 81m³ – 3n³        b) 24x³y – 3y               c) 2x + 54x⁴

10)  a) (x +y)³ – 8         b) a³ + 8(a - b)³               c) (m – n)³ + 1

6)        xn  yn   biçimindeki polinomları Çarpanlara Ayırma:

 11)  a)  x⁴ + 1  =  (x + 1) (x³ – x² + x – 1)

       b)  x⁴ – 1  =  (x² + 1) (x + 1) (x – 1)

       c)  x⁵ + 2⁵ =  (x + 2) (x⁴ – 2x³ + 4x² – 8x + 16)

       d)  x⁵ – 1  =  (x – 1) (x⁴ + x³ + x² + x + 1)

7)       Bir Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma: Verilen İfade uygun bir terim ekleme ve çıkarma yolu ile tam kare  ve iki kare farkı şeklinde çarpanlara ayırma işlemine benzetilir

 

12)  4x⁴ + 7x² + 4  ifadesini Çarpanlarına ayırınız.

        4x⁴  +  7x²  + 4  =  4x⁴ + 7x² + 4 + x² – x²  = 4x⁴ + 8x² + 4– x²

                                                                  = (2x² + 2)² – x²

        2x²               2                                = (2x² + 2 – x) (2x² + 2 + x)

         2.2x².2 = 8x²                                 = (2x² – x + 2) (2x² + x + 2)

 

  13)  x² – 6x + 5   ifadesini x’li terimin kat sayısının yarısının karesini

                            ekleyip-çıkararak çarpanlarına ayırınız.

       x² – 6x + 5 + 3² – 3² = (x² – 6x + 3²) – 3² + 5 = (x – 3)² – 4  

                                        = (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) = (x – 5) (x – 1)

 

 14) a)  m² + 2m – 24        b)  a⁴ + a² + 1        c) 16a⁴ + 4a²b² + b⁴

       d)  a² – 6ab + 8b² +2b – 1           (Not: b² yi bir ekleyip - çıkar )

 

8)  x2 + bx + c  şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :       Çarpımları c, toplamları b olan iki sayı arayacağız.  Çarpımları (+) ise işaretleri aynı, Çarpımları (–) ise işaretleri farklı  Toplamları (+)  “     “     (+) olur  Toplamları (+) “ büyüğü (+) olur  Toplamları (–)  “     “      (–) olur  Toplamları (–) “ büyüğü (–) olur

 

 15)a) x² + 5x + 6   b) x² – 5x + 6   c) x² + 7x + 6     d) x² – 7x + 6

      e) x² + 5x – 6    f) x² – 5x – 6   g) x² + x – 6        h) x² – x – 6

      ı) x² – 7x – 18   i) x⁴ – x² – 30  k) m² – 6m – 27  l) x² – 3xy – 10y²

      m)  –x² – 2x + 3        n) x² – 13x + 30      o) x² + 2y²– 3xy

 

9) ax2 + bx + c  şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :                ax2 + bx + c = (mx + p) (nx + q)                mx            p                 nx            q     (mx.q + nx.q = bx  oluyorsa)

 16)     6x² + 7x – 3   =  (3x – 1) (2x + 3)  olur.

            3x          – 1       (3x . 3 – 1. 2x  =  9x – 2x  = 7x  olduğundan)

            2x         + 3      

  17) a) 3x² – 2x – 8            b) 3x² – 7x + 2       c) 2m² + 5mn – 12n²      

        d) 8a² – 2ab – b           e) 4x² + 21x + 5     f) 36a² – 33ab – 20b² 

       g) 4m² + 11m – 3        h) 6a² + 5a – 6        ı) 12a² – 8ab – 15b²

         i)  2m² – 10m + 12        k) 3x² + 3x – 18      l)  3 n² + 30n + 48

  18)  a² + 2ab + b² = 3     ve   c² + 2ac + 2bc = 6   ise;  a + b + c = ?

         c² + 2ac + 2bc = 6   T.T.T

        a² + b² + c² + 2ab  + 2ac + 2bc = 9(a + b + c)² = 9  Ç = {-3, 3}

 19) 91) x = 4 , y = 2 ise,  x⁵ – 5x⁴y + 10x³y² – 10x²y³ + 5xy⁴ – y⁵ = ? 

             a) 16    b) 32    c) 64    d) 128   e) 256

       x⁵ – 5x⁴y + 10x³y² – 10x²y³ + 5xy⁴ – y⁵ = (x – y)⁵ = (4 – 2)⁵= 32

 20) 97) ,   ise;     a) 6   b) 8   c)10 

      a + b yerine ab yazılırsa

      (a . b)² – 2ab – 24 = 0 olur.                           a .b  = y   diyelim.

      y² – 2y – 24 = 0    y – 6) (y + 4) = 0     y = - 4   ve   y = 6

21)            ise,                             C = 8

            olur.  (özdeşlikte yerine yazalım )

22)            ise;                               C = 36

           olur.  (özdeşlikte yerine yazalım )

  23)     ise;                               C = 12

    olur. (yerine yazalım )

  24)   işleminin sonucu kaçtır?

       123 =153 – 30  ve 183 =153 + 30 yazılırsa 

      =153   olur