Kumeler

KÜMELER

Küme tanımsız bir terim olarak kabul edilir. Ancak küme denilince, iyi tanımlanmış nesneler topluluğu akla gelir.

“En güzel kızlar” her kişiye göre değişen bir topluluk olduğu için küme olamaz.

Bir kümeyi oluşturan nesnelerin her birine o kü­menin elemanı denir.

Kümeler genellikle A, B, C,… gibi büyük harflerle gösterilir.

Kümelerin Gösterimi

1. Liste Yöntemi

Küme parantezi içinde her elemanın arasına vir­gül konularak gösterilir.

A = {a, n, k, r}

2. Venn Şeması

Kümenin elemanlarını, kapalı bir eğri içerisinde yazarak gösterilmesine Venn Şeması yöntemi denir.

3. Ortak Özellik Yöntemi

Kümenin elemanları belli bir özellik sağlıyorsa, bu özelliği kullanarak yazma yöntemidir.

A = {x | x, ankara kelimesinin harfleri}

Not:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

• 1 A (1 elemanıdır A kümesinin)

• 6 A (6 elemanı değildir A kümesinin)

• s(A) = 5 (A kümesinin eleman sayısı 5 tir.)

• A = {1, 2, 2, 3, 4, 5} kümesindeki gibi 2 elemanı iki kez yazılamaz. Her eleman bir kez yazılmalıdır.

Sonlu Ve Sonsuz Küme

Elemanları sayılabilen kümeye sonlu, elemanları sayılamayan kümeye sonsuz küme adı verilir.

A = {x : x < 10 ve x e N) kümesi sonlu kümedir.

B = {x : x < 10 ve x e Z} kümesi sonsuz kümedir.

Boş Küme

Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. ø veya {} sembolleriyle gösterilir.

Örnek

Negatif asal sayılar kümesi boş kümedir.

Denk Küme, Eşit Küme

Eleman sayıları eşit olan kümeye denk küme de­nir. A Ξ B ile gösterilir

Alt Küme

A ve B herhangi iki küme olsun.

A kümesinin elemanları aynı zamanda B kümesi­nin de elemanları ise A kümesi, B kümesinin alt kü­mesidir, denir.

AÌB (A alt küme B) şeklinde gösterilir.

Bir A kümesinin kendisi dışındaki her alt kümesi­ne, A kümesinin özalt kümesi denir.

Bir A kümesinin tüm alt kümelerinin oluşturduğu kümeye A kümesinin kuvvet kümesi denir ve P(A) ile gösterilir.

Özellikler

1. Her A kümesi için ØÌA dır. Çünkü Ø’ye ait olup A’ya ait olmayan bir eleman yoktur.

2. Her A kümesi için AÌA dır. Her küme kendisi­nin alt kümesidir.

Örnek

A = {a, b, c} kümesinin kuvvet kümesi;

P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c,}}

Alt küme sayısı

n elemanlı bir kümenin;

I. Alt küme sayısı = 2n

II. Özalt küme sayısı = 2″ – 1

III. r elemanlı alt küme sayısı = C(n,r)

Not:

1. 2n=C(n,0)+C(n,1)+…+C(n,n)

2. C(n,0)=C(n,n)=1, C(n,1)=n

3. C(n,a)=C(n,b) ise a=b veya a+b=n

KÜMELERDE İŞLEMLER

Evrensel Küme:

Üzerinde işlem yapılan ve bütün kümeleri kapsa­yan en geniş kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir.

Kümelerin Birleşimi:

A ve B iki küme olsun. A ya veya B ye ait olan elemanların oluşturduğu kümedir. A U B şeklinde gös­terilir.

AUB = {x:xA veya x B}

Kümelerin Kesişimi:

A ve B iki küme olsun. A ve B kümelerinin ikisin­de de bulunan elemanların oluşturduğu kümeye denir ve A ∩B ile gösterilir.

A ∩ B = {x: x A ve x B}

Bir Kümenin Tümleyeni

AÌE olmak üzere, A kümesinde bulunmayan ama evrensel kümede bulunan elemanların kümesi­ne A nın tümleyeni denir ve A’ ile gösterilir.

A’ = {x : x A ve xE

İki Kümenin Farkı

A ve B iki küme olsun. A kümesinde olup. B kü­mesinde olmayan elemanların kümesine A ile B nin farkı denir. A B veya A- B ile gösterilir.

Özellikleri:

1. s(A U B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)

2. A, B ve C kümeleri için

s(A U B U C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A ∩ B) – s(A∩ C) – s(B∩ C) + s(A∩ b ∩ C)

3. s(E) = s(A) + s(A’)

4. De Morgan Kuralları:

(A U B)’ = A’ ∩ B’

(A∩ B)’ = A’ U B’

5. Değişme Özelliği

AUB = BUA ve A∩B = B∩A

Birleşme Özelliği

A U (B U C) = (A U B) U C ve A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Dağılma Özelliği

AU(B∩C) = (AUB)∩(AUC) ve A∩(BUC) = (A∩B)U(A∩C)

Küme Problemleri:

Soruda verilen kümeler Venn şeması olarak modellendikten sonra verilen değerler yerlerine yazılır. Küme işlemleri ve denklem kullanılarak çözüme gidilir.