Mantik

MANTIK

Mantık doğru düşünmenin kurallarını öğreten bir bilim dalıdır. Matematik bilimi sistemli ve doğru dü­şünme yeteneğini geliştirmeyi amaçladığından mate­matiğin temel konularından biri olup mantık bilimin­den yararlanılır.

Terim, Tanımlı ve Tanımsız Terimler

Her bilim dalında konuşma dilinden ayrı olarak özel anlamları olan sözcükler vardır. Bu sözcüklerin her birine, o bilim dalının terimi denir.

Örneğin, “açı, çember, küme, küp, prizma, …” matematik biliminin terimleri olup, “nokta, virgül, pa­ragraf, …” Türkçe biliminin terimleridir.

Bir terimin anlamını açıklamaya o terimi tanımla­mak denir.

Bir terimi tanımlayabilmek için daha önce tanım­lanmış terimlerden yararlanılır. Ancak her terimi ta­nımlamak mümkün değildir. Tanımlayamadığımız bu terimlere tanımsız terim denir.

Örneğin, nokta, doğru, düzlem terimleri geometri dersindeki tanımsız terimlerdir. Açı, üçgen, daire te­rimleri tanımlı terimlerdir.

Önermeler

Kullandığımız cümlelerin çoğu bir ya da birden çok hüküm bildirir.

Cümlelerin belirttiği hükümleri doğru ya da yanlış olarak değerlendiririz. Bazı cümleler ise doğru ya da yanlış gibi kesin hüküm bildirmezler.

Örneğin, “kaç yaşındasınız?”, “seni seviyorum”, “seninle ders çalışalım”, cümleleri kesin hüküm bildir­miyor.

“Bir hafta yedi gündür” kesin hüküm bildiriyor ve doğru bir önermedir.

“3 + 2 = 7″ kesin hüküm bildiriyor ve yanlış bir önermedir.

“Portakal bir sebzedir” yanlış bir önermedir.

“5 + 6 > 2 + 8″ doğru bir önermedir.

Önermeler p, q, r, s, t… gibi harflerle gösterilir.

Bir önermenin doğru ya da yanlış olmasına bu önermenin doğruluk değeri denir.

Bir önerme;

Doğru ise doğruluk değeri 1, yanlış ise doğruluk değeri 0 yazılarak belirtilir.

Doğru D 1
Yanlış Y 0
Not:

i) Ali ile Ahmet birer önerme söylesin. Doğruluk değerine göre dört durum elde edilir.

Her iki önerme de doğru olabilir.

Ali’nin önermesi doğru, Ahmet’in öner­mesi yanlış olabilir.

Ali’nin önermesi yanlış, Ahmet’in öner­mesi doğru olabilir. Her iki önerme de yanlış olabilir.

Ali’nin önermesi p, Ahmet’in önermesi q olsun.

p q
1 1
1 0
0 1
0 0

ii) Üç önermenin doğruluk değeri için sekiz deği­şik durum vardır.

p, q, r önermelerinin doğruluk değerleri;

p

q

r

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

n tane önermenin doğruluk değeri için; 2″ değişik durum vardır.

Denk Önermeler

Doğruluk değerleri aynı olan iki önermeye denk (eş değer) önermeler denir.

p ve q iki önermenin denkliği p ≡ q biçiminde ifa­de edilir, p denktir q diye okunur.

Bir Önermenin Değili (Olumsuzu)

Bir önermenin doğruluk değerinin olumsuzu alı­narak oluşturulan yeni önermeye bu önermenin deği li (olumsuzu) denir.

Bir p önermesinin olumsuzu p’, ile gösterilir.

p önermesi doğru ise, p’ önermesi yanlıştır.

p önermesi yanlış ise p’ önermesi doğrudur.

p

p’

1

0

0

1

Sonuç: Bir önermenin değilinin değili yine kendi­sini verir.

(p’)’ = p dir.

Bileşik Önermeler

Aşağıdaki cümleleri inceleyiniz.

“Ayşe işini bitirdi ve gezmeye gitti.”

“Kamil arkadaşına veya sinemaya gitti.”

“Hava güneşli ise okul tatil olur.”

“Üniversite sınavını kazanmam ancak ve ancak çok çalışmamla mümkün olur.”

Yukarıdaki önermeler birbirine bir takım bağlaçlarla bağlanmıştır.

İki veya daha fazla önermenin birbirine ve. veya, ise, ancak ve ancak gibi bağlaçlarla bağlanmasıyla elde edilen yeni önermeye bileşik önerme denir.

Bağlacın adı

İşareti

veya

V
ve

⋀
ise

⇒
ancak ve ancak

⇔

Veya (v) Bağlacı İle Kurulan Bileşik Önermeler

p ile q önermelerinin “veya” bağlacı ile bağlanma­sından oluşan bileşik önermeye p veya q bileşik önermesi denir.

p v q ile gösterilir.

p v q bileşik önermesi bileşenlerinden en az biri doğru iken doğru, her ikisi de yanlış iken yanlıştır.

Örnek

2 çift asal sayıdır veya 2 asal sayıdır. (Doğru) Her ikiside doğru olduğu için doğrudur.

V bağlacının doğruluk tablosu;

p q p vq
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

Ve (⋀) Bağlacı İle Kurulan Bileşik Önermeler:

p ile q önermelerinin “ve” bağlacı ile bağlanma­sından oluşan bileşik önermeye p ve q bileşik öner­mesi denir.

“p ⋀q” (p ve q) biçiminde gösterilir.

p ⋀ q bileşik önermesi; her ikisi de doğru iken doğru diğer durumlarda yanlıştır.

“Abim benden büyüktür ve arı bir hayvandır.” (Doğru)

“Armut bir meyvedir ve 4 bir tek sayıdır.” (Yanlış)

“Üçgen bir karedir ve Lale bir çiçektir.” (Yanlış)

⋀ bağlacının doğruluk tablosu;

p q p ⋀ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

“veya”, “ve” Bağlaçları ile Kurulan Bileşik Önermelerin Özellikleri:
1. Tek kuvvet özelliği pvp =p, p⋀p = p

2. Değişme özelliği pvq=qvp, p⋀q=q⋀p

3. Birleşme özelliği

(p v q) v r = p v (q v r)

(p ⋀q) ⋀r = p ⋀ (q ⋀ r)

4. Dağılma özelliği

p ⋀ (q v r) = (p ⋀ q) v (p ⋀ r)
p v (q ⋀ r) = (p v q) ⋀ (p v r)

De Morgan Kuralları

1. (p v q)’ = p’ ⋀ q’

2. (p ⋀ q)’ = p’ v q’

Totoloji ile Çelişki

Bir bileşik önerme, kendisini oluşturan önermele­rin her değeri için doğru oluyorsa bu bileşik önerme­lere totoloji, daima yanlış oluyorsa bu bileşik öner­melere çelişki denir.

İse {=>) Bağlacı ile Kurulan Bileşik Önermeler (Koşullu Önermeler):

Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.

“Yavuz sinemaya gider ise Yavuz ders çalışmaz.”

“Kar yağar ise okul tatil olur.”

“Süleyman çok çalışır ise sınıfını geçemez.”

Yukarıdaki cümleler iki basit önermenin ise bağ­lacı ile birbirine bağlanması sonucu elde edilmiştir. Bu tür önermelere koşullu önermeler denir.

Ve p => q (p ise q) ile gösterilir.

Bu önerme p doğru, q yanlış iken yanlış diğer du­rumlarda doğrudur.

p

q

p=>q
1

1

1

1

0

0

0

0

1

0

1

1

Bir Koşullu Önermenin Karşıtı, Tersi, Karşıt Tersi:

p => q koşullu önermesinin karşıtı, q => p dir.

p =>q koşulu önermesinin tersi p’ => q’

p => q koşullu önermesinin karşıt tersi q’ => p” dir.

Örnek

“Bir üçgenin kenerları eşit ise bu üçgen eşkenar üçgendir.”

Önermesinin karşıtını, tersini ve karşıt tersini yazınız.

Çözüm:

p: “Bir üçgenin kenarları eşit”

q: “Bu üçgen eşkenar üçgen”

p => q karşıtı q => p olduğundan üçgen eşkenar üçgen ise bu üçgenin kenarları eşittir.

p => q tersi p’ q’ olduğundan bir üçgenin ke­narları eşit değil ise bu üçgen eşkenar üçgen değildir.

p => q karşıt tersi q’ => p’ olduğundan üçgen eş­kenar üçgen değil ise bu üçgenin kenarları eşit değil­dir.

Koşullu Önerme İle İlgili Özellikler

1. (p=>q)=(q’=>p’)

2. (p=> q) =(p’ v q)

3. (p => q)’ = (p’ v q)’ = p ⋀ q’

Ancak Ve Ancak (<=>) Bağlacı İle Kurulan Bile­şik Önermeler (İki Yönlü Koşullu Önerme):

Aşağıdaki cümleleri inceleyelim.

“Mehmet amca çok sigara içmiştir, ancak ve an­cak Mehmet amca kanser olmuştur.”

“Yaşar çok çalıştı ancak ve ancak sınavı kazanamadı.”

Yukarıdaki cümleler iki basit cümlenin ancak ve ancak bağlacı ile birbirine bağlanması sonucu elde edilmiştir.

Bu tür önermelere iki yönlü koşullu önermeler denir.

p <=> q (p ancak ve ancak q) ile gösterilir.

Bu önerme p ile q aynı doğruluk değerine sahip iken doğru diğer durumlarda yanlıştır.

p q p ⇔q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Özellikler:
1. (p⇔p) = 1
2. (p’ ⇔0) = p

3. (p ⇔0) = p’

4. (p ⇔p’)=0

5. (p ⇔q) = (p =>q) ⋀ (q => p)