Problemler

SAYI PROBLEMLERİ
A. PROBLEM ÇÖZME YÖNTEMİ
Denklem kurma ile ilgili soruları çözerken aşağıda anlatılan yöntemin kullanılması sorularda kolaylık sağlayacaktır.

1. adım :
2. adım :
3. adım :
4. adım :

5. adım : Soruda verilenler belirlenir.
Soruda istenen tesbit edilir.
Soruda verilenler matematik diline çevrilir.

3. adımda elde edilen denklemler, denklem çözme metotlarından yararlanılarak çözülür.
Bulunan sonucun, soruda istenen olup olmadığı kontrol edilir.

B. MATEMATİK DİLİNE ÇEVİRME
Sorularda verilen ifadelerin matematik diline çevrilmesini örneklerle açıklayalım.

Herhangi bir sayı x olsun :
ä Bir sayının 7 fazlası, x + 7 dir.
ä Bir sayının 5 eksiğinin yarısı, 
ä Bir sayının yarısının 3 eksiği, 
ä Bir sayının 2 katının 5 fazlası, 2x + 5 tir.
ä Bir sayının 3 fazlasının 4 katı, 4 . (x + 3) tür.
ä Bir sayının 8 eksiğinin 3 katının 7 fazlası, 3 . (x –  + 7 dir.
ä Payı paydasının 2 katının 4 eksiğine eşit olan kesir, 
ä Bir sayının sinin ünün 
ä Bir sayının ünün toplamı, 

Denklem Kurma Problemlerinin (Sayı, Kesir, Yaş, İşçi-Havuz, Hareket, Yüzde, Faiz ve Karışım) daha iyi anlaşılabilmesi için bu konuların başlarına konuyla ilgili örnekler konmuştur. Bu örnekleri incelemeniz konuyu anlamanızı kolaylaştıracaktır.


Örnek 1
Biri diğerinin 3 katından 4 fazla olan iki doğal sayının farkı 80 dir. Buna göre, bu iki sayının toplamları kaçtır?

A) 132 B) 156 C) 160 D) 182

Çözüm
Küçük sayı  x
Büyük sayı  3x + 4
Farkları  3x + 4 – x = 2x + 4 olur.
2x + 4 =
2x =
x =
x = 80
76
76 : 2
38 (küçük sayı)
Büyük sayı  3x + 4 = 3 . 38 + 4 = 118
Toplamları  118 + 38 = 156 olur.
Cevap B


Örnek 2
Ardışık dört çift sayının toplamı 372 dir. Bu sayıların en büyüğü kaçtır?

A) 36 B) 56 C) 68 D) 96

Çözüm
l. sayı x
ll. sayı x + 2
lll. sayı x + 4
lV. sayı x + 6
+ 
Toplam =
4x =
x = 4x + 12 = 372
372 – 12 = 360
360 : 4 = 90
lV. sayı  x + 6 = 90 + 6 = 96 olur.
Cevap D

Örnek 3
Bir yemek kuyruğunda Ali sıranın tam başında, Orhan ise tam ortasındadır. Ali ile Orhan arasında 12 kişi olduğuna göre, bu yemek sırasında kaç kişi vardır?

A) 27 B) 28 C) 29 D) 30

Çözüm

Ali ile Orhan arasında 12 kişi varsa Orhan’ın önünde 12 + 1 = 13 kişi ve arkasında 13 kişi vardır. Orhan sıranın tam ortasında olduğuna göre 13 önünde, 13 arkasında, 1 de kendisi
Toplam  13 + 13 + 1 = 27 kişi vardır. 
Cevap A

Örnek 4
120 tane cevizi Bürge 2 pay, Berkin 3 pay alacak şekilde paylaşıyorlar.
Buna göre, Bürge kaç ceviz almıştır?

A) 28 B) 30 C) 48 D) 50 

Çözüm
l. yol :
Bürge  2 pay
Berkin  3 pay
Toplam  5 pay = 120 
120 : 5 = 24 (1 pay)
Bürge  2 pay  24 x 2 = 48 tane almıştır.

ll. yol :
Bürge  2x Berkin  3x
2x + 3x =
5x = 120
120 ise, 
x = 120 : 5 = 24 olur.
Bürge  2x = 2 . 24 = 48 tane almıştır.
Cevap C

Örnek 5
Bir öğrenci tanesi 5000 ve 6000 liralık silgilerden 10 tane alarak 56 000 lira ödüyor.
Bu öğrenci silgilerin kaç tanesini 5000 liradan almıştır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7

Çözüm
5000 liralık

x tane 6000 liralık

(10 – x) tane 

5000x + 6000.(10 – x) =
5000x + 60 000 – 6000x =
60 000 – 56 000 =
4 000 =
x = 56 000 lira
56 000
1000x
1000x
4 olur.
Cevap A


Örnek 6
10 kişilik bir arkadaş grubu eşit katılımla top almaya karar veriyorlar. Fakat içlerinden 3 kişi vazgeçince diğerleri 30 000 er lira fazla ödüyor.
Buna göre, topun fiyatı kaç liradır?

A) 500 000 B) 560 000 C) 700 000 D) 840 000

Çözüm 
l. yol :
10 – 3 = 7 kişi (geriye kalanlar)
7 x 30 000 = 210 000 lira (3 kişi yerine)
210 000 : 3 = 70 000 lira (1 kişinin ödemesi gereken)
10 x 70 000 = 700 000 lira olur. (topun fiyatı)

ll. yol :
Bir kişinin ödediği miktar  x
Topun fiyatı  T olsun;
10 . x = T
7 . (x + 30 000) = T
10x = T
7x + 210 000 = T

10x =
10x – 7x =
3x = 

7x + 210 000
210 000
210 000 ise, x = 70 000 liradır.
T = 10x olduğundan
T = 10 . 70 000 = 700 000 lira olur.
Cevap C

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

YAŞ PROBLEMLERİ
i) Bugünkü yaş x ise;
m yıl sonra : x + m
n yıl önce : x - n olur.

ii) m yıl önceki yaş x ise,
bugün : x + m
n yıl sonra : x + m + n olur.

Örnek: Bir annenin yaşı 56, üç çocuğunun yaşları toplamı 8'dir. Kaç yıl sonra, annenin yaşı üç çocuğunun yaşları toplamının 3 katı olur?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Çözüm:
Bugün Anne 56 x yıl sonra: 56 + x
Uç çocuk 8 8 + 3x

Denklem: 56 + x = 3. (8 + 3x)
56 + x = 24 + 9x 8x = 32 x = 4 bulunur.
Doğru cevap (C) şıkkıdır.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

İŞÇİ - HAVUZ PROBLEMLERİ

Bir işi;

A işçisi tek başına a saatte,

B işçisi tek başına b saatte,

C işçisi tek başına c saatte

yapabiliyorsa;

•  A işçisi 1 saatte işin sını bitirir.
   

•  A ile B birlikte t saatte işin sini bitirir.
  
   A, B, C birlikte t saatte işin sini bitirir.

Eğer üçü t saatte işi bitirmiş ise bu ifade 1 e eşittir.

A işçisi x saat, B işçisi y saat C işçisi z saat çalışarak işi bitiriyorsa,

1. Bir halıyı Gülten 9 saatte Nurten 18 günde dokumaktadır. İkisi beraber bu halının ‘ünü kaç günde dokur?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

2. Murat bir işin yarısını a günde, Mehmet ise bu işin tamamını 6a günde bitiriyor. İkisi beraber bu işin yarısını 12 günde bitirebiliyorsa, Mehmet işin ‘ünü kaç günde bitirir? 

A) 24 B) 32 C) 42 D) 56 E) 96

3. Arzu bir işin tamamını 40 günde, Gürkan ise bu işin tamamını 20 günde bitirebiliyor. Arzu 14 gün, Gürkan 8 gün çalışırsa işin kaçta kaçı biter?

A) B) C) D) E) 

4. Serkan ile Ebru bir işi beraber 6 günde bitirebiliyor. Ebru, Serkan’dan bu işin tamamını 5 gün önce bitirebiliyorsa, Bu işi Serkan kaç saatte bitirir?

A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 24

5. Fatih’in çalışma kapasitesi Kadir’in çalışma kapasitesinin 3 katı Davut’un çalışma kapasitesinin yarısıdır. Üçü beraber bir işi 12 günde bitirebiliyorsa Davut bu işin yarısını ne kadar zamanda bitirir?

A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 

6. Mahir bir işin 2/3 ünü tek başına 4 günde, Ekin ise aynı işin 3/5 ini 6 günde yapabiliyor. İkisi beraber bu işin yarısını kaç günde yaparlar?

A) 15/4 B) 15/8 C) 15/11 D) 15/13 E) 1

7. Murat ile Mustafa bir işi beraber 12 günde bitirebilmektedir. 9 gün beraber çalıştıktan sonra Murat işi bırakıyor. Ve Mustafa kalan işi 6 günde bitirebiliyor. Buna göre Mustafa bu işin tamamını kaç günde bitirebilir?

A) 6 B) 12 C) 18 D) 24 E) 30

8. Kapasiteleri aynı olan 8 işçi beraber çalışmaya başlıyorlar. Her saatte bir işçi işten ayrıldığında son kalan işçide kalan bir saatte işi bitirebiliyorsa bir işçi işin tamamını kaç saatte bitirir.

A) 6 B) 12 C) 18 D) 24 E) 36

9. Bir usta 2 günde 3 masa, 1 çırak 10 günde 2 masa bitirebilmektedir. Buna göre 51 masayı ikisi beraber kaç günde bitirebilirler? 

A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30

10. Haldun ile Taner’in beraber bitireceği bir işi Murat tek başına aynı sürede bitirebiliyor. 3’ü birlikte 12 gün de bitirebiliyorsa Murat bu işin tamamını kaç günde bitirir?

A) 12 B) 18 C) 24 D) 36 E) 48

11. Bir usta bir işi 20 günde bitirebiliyor. Usta 6 gün çalıştıktan sonra yanına bir yardımcı alıyor. Ve kalan işi 6 günde bitirebiliyorsa yardımcı bu işin tamamını kaç günde bitirebilir?

A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 24

12. Boş bir havuzu A ve B muslukları 1 ve 3 saatte doldururken bir C musluğuda 2 saatte boşaltıyor. Üçü beraber açıldıktan kaç dakika sonra havuz dolar?

A) 48 B) 56 C) 64 D) 72 E) 80

13. A musluğu havuzu 20 saatte, B musluğuda havuzu 40 saatte boşaltıyor. A musluğu 15 saat açık bırakılıyor. A musluğu kapatıldıktan sonra 25 saatte B musluğu açılıp kapanıyor. Buna göre son durumda havuzun kaçta kaçı doludur?

A) B) C) D) E) 

14. Bir musluk havuzu 9 saatte doldurabiliyor. Musluğun debisi % 25 oranında azaltılırsa havuz kaç saatte dolar?

A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16

15. Eşit kapasitedeki 16 musluktan bir kısmı havuzu 16 saatte dolduruyor. Muslukların tamamı 8 saatte doldurabiliyorsa başlangıçta kaç musluk açılmıştır?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16

16. Bir havuzu A musluğu 20 saatte doldururken B musluğu 15 saatte boşaltabiliyor. 10 saat boyunca A musluğu havuzu doldurduktan sonra B musluğu da açılıyor. Buna göre B musluğu açıldıktan 5 saat sonra havuzun kaçta kaçı dolar?

A) B) C) D) E) 

17.Şekildeki birinci havuz musluktan akan suyla diğerleri de bir önceki havuzdan taşan suyla dolmaktadır. III. Havuz 9 saatte dolduğuna göre 10 saat sonra IV. Havuzun kaçta kaçı dolu olur?

A) B) C) D) E) 

CEVAPLAR:
1-C,2-B,3-C,4-C,5-A,6-B,7-D,8-E,9-E,10-C,11-C,12-D,13-C,14-C,15-B,16-C,17D

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------